Lichtkunst Abitur GK Hamburg

Das neueste Werk eines jungen Künstlers besteht aus einer Skulptur und zwei starren Stromschienen, die von einer Wand (x-z-Ebene) zur anderen Wand (y-z-Ebene) verlaufen. Auf diesen Schienen können Lampen bewegt werden, um die Skulptur zu beleuchten. Da die Schienen nur einen Durchmesser von 4cm haben, soll diese Ausdehnung in den Rechnungen vernachlässigt werden. Die Schienen werden also als Teile von Geraden angesehen. Die beiden Stromschienen sind an den Wänden befestigt und verbinden die Punkte $ \RPUNKT{P_1}{10}{0}{3} $ und $ \RPUNKT{Q_1}{0}{6}{6} $ bzw. $ \RPUNKT{P_2}{8}{0}{5} $ und $ \RPUNKT{Q_2}{0}{8}{4} $. ($ 1\,\mathrm{LE} \equiv 1\,\mathrm{m} $)

Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden $ g_1 $ und $ g_2 $, die den Verlauf der Stromschienen beschreiben und zeichnen Sie die Stromschienen in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

Der Verkürzungsfaktor in x-Richtung beträgt $ 0,5\cdot \sqrt{2} $ und der Winkel zwischen x- und y-Achse ist $ 135° $ groß.

Zeigen Sie, dass sichergestellt ist, dass die Stromschienen sich nicht berühren.

In den Punkten $ \RPUNKT{L_1}{5}{3}{4,5} $ und $ \RPUNKT{L_2}{2}{6}{4,25} $ befinden sich Lampen, die als punkt\-förmige Lichtquellen betrachtet werden können.

Weisen Sie nach, dass $ \mathrm{L_1} $ auf $ g_1 $ liegt und $ \mathrm{L_2} $ auf $ g_2 $, und bestimmen Sie den Abstand der beiden Lampen voneinander.

Zeichnen Sie die Lampenpunkte in das Koordinatensystem ein.

Der höchste Punkt der Skulptur sei $ \RPUNKT{S}{2}{4}{2,25} $. Der Künstler möchte, dass der Schatten dieser Skulpturenspitze noch auf den Fußboden des Raumes (x-y-Ebene) und nicht auf eine Wand fällt.

Zeigen Sie, dass unter dieser Bedingung nur eine der beiden Lampen eingeschaltet werden darf.

Bestimmen sie den Schattenpunkt R auf dem Fußboden des Raumes und zeichnen Sie R und S in das Koordinatensystem ein.

An die Stromschienen sollen neue Lampen angebracht werden, die von der Schiene $ 0,2\,\mathrm{m}$ vertikal herunterhängen. Beurteilen Sie, ob dies möglich ist, ohne dass dadurch die freie Beweglichkeit der Lampen auf der gesamten oberen Schiene durch die untere Schiene eingeschränkt wird.

Hinweis: Skizzieren Sie die vertikale Projektion der Schienen auf die x-y-Ebene, d.h. die z-Komponente ist Null und betrachten Sie den Höhenunterschied der Schienen über dem Schnittpunkt der Projektionsgeraden.