Einleitung
Originale Klausur mit 38 Punkten. Das Verständnis zu den Begrifflichkeiten des Themas muss gezeigt, ein Grenzwert mit Hilfe des Differentialquotienten berechnen und Potenzfunktionen mit Ableitungsregeln differenziert (abgeleitet) werden. Zusätzlich kommt das Berührproblem und das Tangentenproblem sowie eine Anwendungsaufgabe vor.
42 Minuten Erklärungen in 5 Aufgaben von Koonys Schule.
Aufgaben
Welche Ausdrücke haben die gleiche Bedeutung?
lokale Änderungsrate
$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} $
$ f(x_0) $
Steigung der Sekante durch $ \EPUNKT{P}{x_0}{f(x_0)} $ und $ \EPUNKT{Q}{x}{f(x)} $
Differentialquotient
Funktionswert von $ f $ an der Stelle $ x_0 $.
mittlere Änderungsrate
$ f'(x_0) $
Steigung der Tangente in $ \EPUNKT{P}{x_0}{f(x_0)} $
Gegeben ist die Funktion $ f(x) = 0,5x^2 + 5x $. Berechnen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle $ x_0 = -2 $ mithilfe des Grenzwertes $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} $.
Differenzieren Sie die gegebenen Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln.
$ f(x) = \frac{1}{5} x^5 - 2x^3 + x $
$ f(x) = -\frac{3}{4} x^3 + 4x^2 - 3 $
Gegeben sind die Funktionen $ f(x) = -x^3 + 4x^2 - 7x + 6 $ und $ g(x) = -x^2 + 3 $.
Zeigen Sie, dass der Punkt $ \EPUNKT{P}{1}{f(1)} $ auch auf dem Graphen von $ g $ liegt.
Weisen Sie nach, dass sich die Graphen von $ f $ und $ g $ in P berühren.
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Berührtangente.
Ein Hochwasserdamm kann für
$ 0 \le x \le 6 $ durch die Funktion $ f(x) = -\frac{1}{50}x^4 + \frac{3}{25}x^3 $ beschrieben werden. ($ 1\,\mathrm{LE} \equiv 2\,\mathrm{m} $)
(a) Bestimmen Sie die maximale Höhe des Dammes in Metern.
(b) Unter welchem Winkel muss eine Leiter angestellt werden, die den Damm an der Stelle $ x = 5 $ berührt?
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