Aus 3 mach 4 - Abitur GK Berlin 2008

Unter $ \mathrm{E_i} $ (mit i = 1, 2, 3, 4) wird das Ereignis Die Ziffer 1 erscheint bei einem Spiel genau i-mal verstanden.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse $ \mathrm{E_1} $ und $ \mathrm{E_2} $.

(Kontrollergebnis: $ P(\mathrm{E_2}) = \frac{8}{27} $)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ereignisse.

Untersuchen Sie, ob die Ereignisse F und G stochastisch unabhängig sind.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 10 Spielen keine Ziffernfolge aus $ \mathrm{E_2} $ erzeugt wird.

Berechnen Sie die Anzahl der Spiele, die man mindestens spielen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,9 % wenigstens einmal eine Ziffernfolge aus $ \mathrm{E_2} $ erzeugt wird.

Der Automat soll mit einer neuen Elektronik versehen werden. Bevor er damit in Spielhallen und Gaststätten aufgestellt werden darf, muss er bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt aufwändige Testes bestehen (Bauartzulassung). Es wird unter anderem untersucht, ob es sich weiterhin um ein Laplace-Gerät handelt. Dazu wird die folgende Entscheidungsregel aufgestellt:

Wenn bei 100 Spielen mindestens 22-mal und höchstens 36-mal eine Ziffernfolge aus $ \mathrm{E_2} $ erscheint, dann wird die Laplace-Wahrscheinlichkeit angenommen, andernfalls nicht.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit dieser Entscheidungsregel ein tatsächliches Laplace-Gerät irrtümlich den Test nicht besteht.

Hinweis: Sie dürfen mit $ P(\mathrm{E_2}) \approx 0,3 $ als Näherungswert rechnen.