Einleitung
Originale Grundkurs Klausur aus Berlin eines 2. Semesters.
Der Hauptteil ist die Kurvendiskussion einer e-Funktion. Wendetangente, Stammfunktion und Flächeninhalt inklusive.
Die andere Hälfte beinhaltet Integralrechnung mit Parametern und ein paar kombinatorische Aufgaben.
42 Minuten Erklärungen in 3 Aufgaben von Koonys Schule.
Aufgaben
Flächeninhalte (ca. 30 %)
Berechnen Sie den Inhalt $A$ der von den Graphen der Funktionen
$g(x) = 3x^3 + 4x^2-6x+6$ und $h(x) = -x^3+18x+6$ eingeschlossenen Flächen.
Bestimmen Sie den Parameter $a$ ($a\in \RR, a > 0$) so, dass der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $k(x) = 3x^2 + ax - 10$ und der x-Achse auf dem Intervall $[1;\,3]$ 18 Flächeneinheiten beträgt.
Kombinatorik (ca. 15 %)
Bei einem Rennen mit acht Pferden werden zwei Wetten angeboten.
(i) Man wettet auf den Einlauf der ersten drei Pferde in der richtigen Reihenfolge.
(ii) Man wettet auf den Einlauf der ersten drei Pferde, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Wie groß ist bei (i) und (ii) die Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn man annimmt, dass alle Pferde gleiche Gewinnchancen haben?
In einem Kartenspiel mit 36 Karten gibt es 9 Herzkarten. Ohne Zurücklegen zieht Max 16 Karten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Karten genau 5 Herzkarten sind?
Exponentialfunktion (ca. 55 %)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot e^{1-x}$. Ihr Graph ist $G_f$.
Untersuchen Sie $f$ auf Nullstellen. Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow - \infty$.
Bestimmen Sie relative Extrempunkte des Graphen $G_f$ und deren Art sowie Wendepunkte.
(Kontrolle: $f'(x) = (1-x)\cdot e^{1-x}$. Ohne Nachweis dürfen Sie $f'''(x_w) \ne 0$ verwenden.)
Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente.
Zeichnen Sie $G_f$ im Bereich $[-0,5;\,4]$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
Bestätigen Sie, dass die Funktion $F(x) = (-x-1)\cdot e^{1-x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
Der Graph $G_f$, die positive x-Achse und die senkrechte Gerade $g$ mit $x=5$ begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt.
Alle Erklärungen sind auch in einer
PDF zum Drucken
Lösungs-PDF
Weitere Arbeitsblätter
Stammfunktionen und Flächeninhalte
76 min, 8 Aufgaben #8010Wie für das Thema üblich werden zunächst einfache Polynomfunktionen integriert und dann schwierigere Funktionen bei denen zunächst Potenz- und Wurzelgesetze angewendet werden müssen. Der Aufgabentyp mit gegebener Ableitung und einem Punkt die Ausgangsfunktion zu bestimmen ist auch dabei und die zweite Hälfte der Aufgaben behandelt die Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse. Dabei müssen zuerst die Nullstellen bestimmt werden. :)
Klassenarbeit - Rechnen mit Wurzeln
27 min, 9 Aufgaben #0993Originale Arbeit einer 9. Klasse mit 60 möglichen Punkten ohne Taschenrechner zur Wurzelrechnung.
Klammern auflösen
51 min, 5 Aufgaben #3335Aufgaben zum Vereinfachen von Termen mit Klammern. Zunächst Terme mit Minusklammern, dann welche mit doppelten Klammern (doppeltes Distributivgesetz). Am Ende, so ganz nebenbei, die binomischen Formeln und der ganze Spaß rückwärts: das Ausklammern.
Klassenarbeit Terme und Gleichungen
26 min, 5 Aufgaben #3750Klassenarbeit einer 8. Klasse auf einem Berliner Gymnasium. Es müssen Terme vereinfacht und Gleichungen gelöst werden. Dabei müssen Klammern aufgelöst, binomische Formeln angewendet und Gleichungen aus Texten aufgestellt werden.
Studienkolleg Vektoren, SS 2017
127 min, 10 Aufgaben #1818Übungsblatt der Hochschule Kaiserslautern, University of Applied Sciences, zum Thema Vektoren.