Ableitungsfunktion und ihre Anwendung

Einleitung

Aus einer Funktion macht man eine andere Funktion, die sogenannte Ableitungsfunktion.
Die Aufgaben beschäftigen sich damit, wie das gemacht wird, und was man darüber hinaus mit der Ableitungsfunktion machen kann.
Zum Beispiel Steigungswinkel, Schnittwinkel, Tangentengleichungen oder Berührpunkte bestimmen.

92 Minuten Erklärungen in 12 Aufgaben von Koonys Schule.

Aufgaben

Steigungswinkel

An welchen Punkten hat die Funktion $ f(x) = 2x^3 -4x $ die Steigung 5 und an welchen Punkten den Steigungswinkel 45°?

Schnittwinkel

Bestimmen Sie den Schnittwinkel für $ f(x) = x^2 + 2 $ und $ g(x) = 4x $.

Tangentengleichung

Wie lautet die Tangentengleichung für $ f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 1 $ an der Stelle $ x = 3 $?

Leiten Sie die folgenden Funktionen jeweils einmal ab.

$ f(x) = x^7+2x^6+(x+2)^3-3 $

$ f(x) = 0,5x^4 + x^{-5} + (x-0,2)^3 - 3$

$ f(x) = x^{12} + 21x^5 + (x-1)^4 - 3 $

$ g(x) = ax^b - 16x $

$ g(x) = cx^d + 4x $

$ g(x) = ab^c + xyz $

$ h(x) = -\frac{5}{x^4} - \sqrt{x^6} - \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}} $

$ h(x) = \frac{5}{x^2} - \sqrt[3]{x^4} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

$ h(x) = \frac{5}{x^{3a}} - \sqrt[b]{x^c} - \frac{1}{\sqrt[3a]{x^2}} $

Bestimmen Sie jeweils Steigung, Steigungswinkel und die entsprechende Tangentengleichung an den Stellen $ x_1 $ und $ x_2 $.

$ f(x) = 3x^3 + 6x^2,\qquad x_1 = 1, x_2 = 0 $

$ f(x) = 4x^3 - 10x^2 + 2,\qquad x_1 = 2, x_2 = 0 $

$ f(x) = 2x^3 - x^2 + 4, \qquad x_1 = -1, x_2 = 0 $

Prüfen Sie an welchen Stellen sich die folgenden Funktionen berühren oder schneiden und bestimmen Sie ggf. Schnittwinkel oder Berührtangente.

$ f(x) = 2x^{-1}-1, g(x) = 2-x^2$

$ f(x) = 2(x+1)^2+2, g(x) = -0,5(x+1)^3 +2$

$ f(x) = (x+1)^2 + 3, g(x) = -(x+1)^3 +3$

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