Einleitung
Der Differenzenquotient muss gebildet und Funktionen abgeleitet werden. Darüber hinaus muss eine Ausgangsfunktion gezeichnet und Funktionsgleichungen von Ausgangsfunktionen gebildet werden.
Eine Aufgabe über die Differenzierbarkeit einer Betragsfunktion an einer bestimmten Stelle ist auch dabei.
34 Minuten Erklärungen in 8 Aufgaben von Koonys Schule.
Aufgaben
Zeigen Sie, dass die Funktion $ f $ mit $ f(x) = x^2 + 2 $ an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.
Hinweis: Bilden Sie den Differenzenquotienten an einer beliebigen Stelle $ x_0 $ und bestimmen Sie $ f'(x_0) $.
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion mithilfe der Ableitungsregeln:
$ f(x) = 5x^7 $
$ f(x) = 4x^3 - 3x^2 $
$ f(x) = 0,5x^5 - 2x^3 $
$ f(x) = x^5 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2} x^3 - x $
$ f(x) = ax^2 + bx + c $
$ f(x) = 3x^{20} - 2x^2 $
$ f(x) = \frac{1}{5}(x^2 + x + 5) $
$ f(x) = 2x^2(3x+4) $
Bestimmen Sie die Stellen $ x_i $ an denen die Graphen der Funktionen $ f $ und $ g $ mit $ f(x) = 0,5x^2 - x^3 + 2 $ und $ g(x) = x^3 - 4 $ den gleichen Anstieg haben.
Leiten Sie aus dem dargestellten Graphen der Ableitungsfunktion $ f' $ Aussagen über das Steigungsverhalten der Funktion $ f $ ab.
Welches Verhalten zeigt $ f $ an der Stelle $ x = -2 $?
Bestimmen Sie zu den folgenden Ableitungen von Potenzfunktionen jeweils eine zugehörige Ausgangsfunktion:
$ f'(x) = 4x^3 $
$ f'(x) = 8x^7$
$ f'(x) = 0$
$ f'(t) = 10t^4$
Zeigen Sie, dass die Funktion $ f $ mit $ f(x) = |x|\cdot(1-x) $ an der Stelle $ x = 0 $ nicht differenzierbar ist.
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